已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点到直线x＋y＋＝0的距离为2.(1)求椭圆的方程；(2)过点M(...

问题详情：

已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点到直线x＋y＋＝0的距离为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点M(0，－1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，且满足＝－，求直线l的方程．

【回答】

解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c＞0)，则＝2，c＋＝±2，c＝或c＝－3(舍去)．

又离心率＝，＝，故a＝2，b＝＝，故椭圆的方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0,0)，因为＝－，

所以(x1－x0，y1)＝－(x2－x0，y2)，y1＝－y2.①

易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，

于是设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，

联立方程，得

消去x得(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝0，②

因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，

于是y1＋y2＝－，③

y1y2＝， ④

由①③得，y2＝，y1＝－，

代入④整理得8k4＋k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，

所以直线l的方程是y＝x－1或y＝－x－1.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题