.圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC為對角線，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，點M為AC的...

問題詳情：

.圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC為對角線，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，點M為AC的中點，動點E從點C出發以每秒1個單位的速度運動到點B停止，連線EM並延長交AD於點F，設點E的運動時間為t秒．

（1）求四邊形ABCD的面積；

（2）當∠EMC=90°時，判斷四邊形DCEF的形狀，並說明理由；

（3）連線BM，點E在運動過程中是否能使△BEM為等腰三角形？如果能，求出t；如果不能，請說明理由．

【回答】

 解：（1）∵∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，

∴CD=4，AC=4．

又∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴四邊形ABCD的面積為4×4=16．

（2）如圖1，當∠EMC=90°時，四邊形DCEF是菱形．

∵∠EMC=∠ACD=90°，

∴DC∥EF．

∵BC∥AD，

∴四邊形DCEF是平行四邊形，∠BCA=∠DAC

．由（1）可知：CD=4，AC=4．

∵點M為AC的中點，

∴CM=2．

在Rt△EMC中，∠CME=90°，∠BCA=30°．

∴CE=2ME，可得ME2+（2）2=（2ME）2，

解得：ME=2．

∴CE=2ME=4．

∴CE=DC．

又∵四邊形DCEF是平行四邊形，

∴四邊形DCEF是菱形．

（3）點E在運動過程中能使△BEM為等腰三角形．

理由：如圖2，過點B作BG⊥AD與點G，過點E作EH⊥AD於點H，連線DM．

∵DC∥AB，∠ACD=90°，

∴∠CAB=90°．

∴∠BAG=180°﹣30°﹣90°=60°．

∴∠ABG=30°．

∴AG==2，BG=2．

∵點E的運動速度為每秒1個單位，運動時間為t秒，

∴CE=t，BE=8﹣t．

在△CEM和△AFM中，

∴△CEM≌△AFM．

∴ME=MF，CE=AF=t．

∴HF=HG﹣AF﹣AG=BE﹣AF﹣AG=8﹣t﹣2﹣t=6﹣2t．

∵EH=BG=2，

∴在Rt△EHF中，ME===．

∵M為平行四邊形ABCD對角線AC的中點，

∴D，M，B共線，且DM=BM．

∵在Rt△DBG中，DG=AD+AG=10，BG=2，

∴BM==2．

要使△BEM為等腰三角形，應分以下三種情況：

當EB=EM時，有，

解得：t=5.2．

當EB=BM時，有8﹣t=2，

解得：t=8﹣2．

當EM=BM時，由題意可知點E與點B重合，此時點B、E、M不構成三角形．

綜上所述，當t=5.2或t=8﹣2時，△BEM為等腰三角形．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題