如圖，BD為四邊形ABCD的對角線，BC=AD，∠A=∠CBD，∠ABD=120°，AB=3，CD=，則BC的...

問題詳情：

如圖，BD為四邊形ABCD的對角線，BC=AD，∠A=∠CBD，∠ABD=120°，AB=3，CD=，則BC的長為_____________.

【回答】

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【解析】如圖，過點D作DE//BA，並且使DE=BD，連線BE，AE，過點B作BF⊥DE於點F，過點A作AG⊥DE於點G，則四邊形ABFG是矩形，從而有FG=AB=3，AG=BF，通過*△ADE≌△CBD，可得AE=CD=，根據已知易得△BDE是等邊三角形，根據等邊三角形的*質可得DF=BD，BF=BD，在Rt△AEG中，利用勾股定理可求得BD=5，從而得AG=，DG=，在Rt△ADG中，根據勾股定理求得AD長即可得*.

【詳解】如圖，過點D作DE//BA，並且使DE=BD，連線BE，AE，過點B作BF⊥DE於點F，過點A作AG⊥DE於點G，則四邊形ABFG是矩形，

∴FG=AB=3，AG=BF，

∵AB//DE，∴∠ADE=∠BAD，

∵∠BAD=∠CBD，

∴∠ADE=∠CBD，

又∵DE=BD，AD=BC，

∴△ADE≌△CBD，

∴AE=CD=，

∵∠ABD=120°，DE//AB，

∴∠BDE=60°，

∴△BDE是等邊三角形，

∴DF=BD，BF=BD，

在Rt△AEG中， AE2=AG2+EG2，EG=DF+FG-DE=BD+3-BD=3-BD，

∴，

∴BD=5或BD=-2（捨去），

∴AG=，DG=DF+FG=+3=，

在Rt△ADG中，AD2=AG2+DG2=（）2+（）2=49，

∴AD=7，

∴BC=7，

故*為：7.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與*質、等邊三角形的判定與*質、勾股定理的應用等，綜合*較強，有一定的難度，正確新增輔助線靈活應用相關知識是解題的關鍵.

知識點：三角形全等的判定

題型：填空題