設函式．（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若函式在其定義域內不單調，求實數的取值範圍；（Ⅲ）設函式，若...

問題詳情：

設函式．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函式在其定義域內不單調，求實數的取值範圍；

（Ⅲ）設函式，若在上至少存在一點使成立，求實數的取值範圍．

【回答】

解：（Ⅰ）當時,，得   …………1分

所以，．又，所以曲線在點處的切線為．

…………………………3分

（Ⅱ）由已知，得在其定義域，且  ……4分

記．

解法一：

①若函式在上單調遞增，則在上恆成立

即     ……………………………5分

所以，，

而，，故；          ………………6分

②若函式在上單調遞減，則在上恆成立

即                  ……………………………7分

所以，，

而，，故．………………………8分

綜上，若函式在其定義域內不單調，則實數的取值範圍是．…9分

解法二：

若函式在其定義域內不單調，則在上有變號零點，即在上有變號零點          ……………………5分

當時，，所以在上無零點；…7分

當時，二次函式的對稱軸，若要在上有變號零點，只須，解得．

綜上，若函式在其定義域內不單調，則實數的取值範圍是．…9分

（Ⅲ）顯然，．所以原問題等價於在上至少存在一點使成立，

即存在使                        ………………10分

令，對其求導可得，所以在上單調遞減，，

故即的取值範圍是．  …………………………14分

知識點：導數及其應用

題型：解答題