平面內與兩定點連線的斜率之積等於常數(的點的軌跡,連同兩點所成的曲線為C.(Ⅰ)求曲線C的方程,並討論C的形狀...
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問題詳情:
平面內與兩定點連線的斜率之積等於常數(的點的軌跡,連同兩點所成的曲線為C.
(Ⅰ)求曲線C的方程,並討論C的形狀;
(II)設,,對應的曲線是,已知動直線與橢圓交於、兩不同點,且,其中O為座標原點,探究 是否為定值,寫出解答過程。
【回答】
解:(Ⅰ)設動點為M,其座標為,
當時,由條件可得
即,又的座標滿足
故依題意,曲線C的方程為
當曲線C的方程為是焦點在y軸上的橢圓;
當時,曲線C的方程為,C是圓心在原點的圓;
當時,曲線C的方程為,C是焦點在x軸上的橢圓; ……6分
(Ⅱ)解::
當直線的斜率不存在時,P,Q兩點關於x軸對稱,
所以因為在橢圓上,因此 ①
又因為所以 ②
由①、②得此時
當直線的斜率存在時,設直線的方程為
將其代入,得,
其中即 (*)
又,
所以
因為點O到直線的距離為所以
又整理得且符合(*)式,
此時
綜上所述結論成立 ……13分
(Ⅱ)解法2:
令P,Q
化簡得
又P,Q在
則
代入得,
知識點:直線與方程
題型:解答題
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