如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點,沿EC對摺矩形ABCD,使B點落在點P處,摺痕為EC,連結AP並延長...
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問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點,沿EC對摺矩形ABCD,使B點落在點P處,摺痕為EC,連結AP並延長AP交CD於F點,連結CP並延長CP交AD於Q點.給出以下結論:
①四邊形AECF為平行四邊形;
②∠PBA=∠APQ;
③△FPC為等腰三角形;
④△APB≌△EPC;
其中正確結論的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
B
【解析】
分析:①根據三角形內角和為180°易*∠PAB+∠PBA=90°,易*四邊形AECF是平行四邊形,即可解題;
②根據平角定義得:∠APQ+∠BPC=90°,由正方形可知每個內角都是直角,再由同角的餘角相等,即可解題;
③根據平行線和翻折的*質得:∠FPC=∠PCE=∠BCE,∠FPC≠∠FCP,且∠PFC是鈍角,△FPC不一定為等腰三角形;
④當BP=AD或△BPC是等邊三角形時,△APB≌△FDA,即可解題.
詳解:①如圖,EC,BP交於點G;
∵點P是點B關於直線EC的對稱點,
∴EC垂直平分BP,
∴EP=EB,
∴∠EBP=∠EPB,
∵點E為AB中點,
∴AE=EB,
∴AE=EP,
∴∠PAB=∠PBA,
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°,即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2(∠PAB+∠PBA)=180°,
∴∠PAB+∠PBA=90°,
∴AP⊥BP,
∴AF∥EC;
∵AE∥CF,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
故①正確;
②∵∠APB=90°,
∴∠APQ+∠BPC=90°,
由摺疊得:BC=PC,
∴∠BPC=∠PBC,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°,
∴∠ABP=∠APQ,
故②正確;
③∵AF∥EC,
∴∠FPC=∠PCE=∠BCE,
∵∠PFC是鈍角,
當△BPC是等邊三角形,即∠BCE=30°時,才有∠FPC=∠FCP,
如右圖,△PCF不一定是等腰三角形,
故③不正確;
④∵AF=EC,AD=BC=PC,∠ADF=∠EPC=90°,
∴Rt△EPC≌△FDA(HL),
∵∠ADF=∠APB=90°,∠FAD=∠ABP,
當BP=AD或△BPC是等邊三角形時,△APB≌△FDA,
∴△APB≌△EPC,
故④不正確;
其中正確結論有①②,2個,
故選B.
點睛:本題考查了全等三角形的判定和*質,等腰三角形的*質和判定,矩形的*質,翻折變換,平行四邊形的判定,熟練掌握全等三角形的判定與*質是解本題的關鍵.
知識點:平行四邊形
題型:選擇題
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