如圖,△ABC是等邊三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,M是AB延長線上一點,N是CA延長線...
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問題詳情:
如圖,△ABC是等邊三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,M是AB延長線上一點,N是CA延長線上一點,且∠MDN=60°.試探BM,MN,CN之間的數量關係,並給出*.
【回答】
CN=MN+BM,見解析
【分析】
採用“截長補短”法,在CN上擷取點E,使CE=BM,連線DE,結合等邊及等腰三角形的*質利用SAS可*△MBD≌△ECD,繼而可*△MND≌△END,由全等的*質可得結論.
【詳解】
解:CN=MN+BM.*:
如圖,在CN上擷取點E,使CE=BM,連線DE,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°.
又∵△BDC為等腰三角形,且∠BDC=120°,
∴BD=CD,∠DBC=∠BCD=30°.
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°.
在△MBD和△ECD中,
∴△MBD≌△ECD(SAS).
∴MD=ED,∠MDB=∠EDC.
又∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,
∴∠EDN=∠BDC-(∠BDN+∠EDC)=∠BDC-(∠BDN+∠MDB)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°.
∴∠MDN=∠EDN.
在△MND與△END中,
∴△MND≌△END(SAS).
∴MN=NE.
∴CN=NE+CE=MN+BM.
【點睛】
本題考查了等邊及等腰三角形的*質及全等三角形的判定和*質,並採用了截長補短法,靈活利用已知條件*三角形全等是解題的關鍵.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題
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