已知函式.（1）試判斷函式F（x）=(x2+1)f(x)–g(x)在[1，+∞)上的單調*；（2）當0＜a＜b...

問題詳情：

已知函式.

（1）試判斷函式F（x）=(x2+1) f (x) – g(x)在[1，+∞)上的單調*；

（2）當0＜a＜b時，求*：函式f (x) 定義在區間[a,b]上的值域的長度大於（閉區間[m，n]的長度定義為n –m）．

（3）方程f(x)=是否存在實數根？說明理由。

【回答】

解（1）∵F（x）=(x2+1)lnx –2x+2．   ∴F ′（x）= 2xlnx+．

   ∴當x≥1時，F′（x）≥0且僅當x = 1時F′（x）= 0 ∴F（x）在（1，+∞）上單調遞增   ……4分

  （2）∵0＜a＜b,f (x)在[a,b]上的值域為[lna,lnb]

    ∴要*值域的長度大於， 即*lnb – lna＞   只要*ln

∵0＜a＜b,∴令  則只要*lnx＞  （x>1）  即*（x2+1）lnx –(2x –2)>0  (※)

由（1）可知F(x)在（1，+∞）上單調遞增 ∴F（x）＞F（1）= 0 所以（※）式成立．

∴f (x)在[a, b]上的值域的長度大於．……9分

（3）∵f (x) =         xlnx= 令h (x) = xlnx(x>0)．則h ′（x）=lnx+1

當x∈（0，）時h ′（x）< 0,     h (x)單調遞減；

當x∈（）時，h′（x）>0，h (x)單調遞增．所以h (x)min= h ()= –．

令(x)=則 當x∈（0，1），，單調遞增；  當x∈（1，+∞）時，，單調遞減．∴max=    所以方程f(x)= 沒有實根…

知識點：導數及其應用

題型：解答題