如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣          1，0），C（0，...

问题详情：

如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 A（3，0），B（﹣         

 1，0），C（0，﹣3）．                                         

（1）求该抛物线的解析式；                                      

（2）若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标；        

（3）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．                              

【回答】

解：（1）把 A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：        

，                                              

解得：， 则该抛物线解析式为 y=x2﹣2x﹣3；                                 

（2）设直线 BC 解析式为 y=kx﹣3，                              

把 B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即 k=﹣3，                         

∴直线 BC 解析式为 y=﹣3x﹣3，                                 

∴直线 AM 解析式为 y=x+m

把 A（3，0）代入得：1+m=0，即 m=﹣1，                          

∴直线 AM 解析式为 y=x﹣1， 联立得：   ，                                  

解得：       ，                                      

则 M                                         

（3）存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形， 分两种情况考虑：         

设 Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），                              

当四边形 BCQP 为平行四边形时，由 B（﹣1，0），C（0，﹣3）， 根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，

解得：m=1±，x=2±，                                     

当 m=1+时，m2﹣2m﹣3=8+2﹣2﹣2﹣3=3，即 P（1+，2）；        

当 m=1﹣时，m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣2+2﹣3=3，即 P（1﹣，2）； 当四边形 BCPQ 为平行四边形时，由 B（﹣1，0），C（0，﹣3）， 根据平移规律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，          

解得：m=0 或 2，                                            

当 m=0 时，P（0，﹣3）（舍去）；当 m=2 时，P（2，﹣3），           

综上，存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，P 的坐标为（1+，          

2）或（1﹣，2）或（2，﹣3）．                               

知识点：各地中考

题型：解答题