.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．（1）求∠A+∠C的度数。   （2）连接...

问题详情：

.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．

（1）求∠A+∠C的度数。   

（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由。   

（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足 ，求点E运动路径的长度。   

【回答】

（1）解：在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°， ∴∠A+∠C=360°-∠B-∠C=360°-60°-30°=270°。 （2）解：如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAQ，连接DQ， ∵BD=BQ，∠DBQ=60°， ∴△BDQ是等边三角形， ∴BD=DQ， ∵∠BAD+∠C=270°， ∴∠BAD+∠BAQ=270°， ∴∠DAQ=360°-270°=90°， ∴△DAQ是直角三角形 ∴AD2+AQ2=DQ2  ， 即AD2+CD2=BD2 （3）解：如图，将△BCE绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接EF， ∵BE=BF，∠EBF=60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴EF=BE，∠BFE=60°， ∵AE2=BE2+CE2 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AFE=90° ∴∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°， ∴∠BEC=150°， 则动点E在四边形ABCD内部运动，满足∠BEC=150°，以BC为边向外作等边△OBC， 则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC， ∵OB=AB=1， 则BC= =

【考点】等边三角形的判定与*质，勾股定理的逆定理，多边形内角与外角，弧长的计算，旋转的*质  

【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360度，结合已知条件即可求出*. （2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAQ，连接DQ（如图），由旋转*质和等边三角形判定得△BDQ是等边三角形，由旋转*质根据角的计算可得△DAQ是直角三角形，根据勾股定理得AD2+AQ2=DQ2  ， 即AD2+CD2=BD2. （3）将△BCE绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接EF(如图)，由等边三角形判定得△BEF是等边三角形，结合已知条件和等边三角形*质可得AE2=EF2+AF2  ， 即∠AFE=90°，从而得出∠BFA=∠BEC=150°，从而得出点E是在以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC，根据弧长公式即可得出*.

知识点：各地中考

题型：解答题