如图,AB是⊙C的直径,M、D两点在AB的延长线上,E是⊙C上的点,且DE2=DB·DA.延长AE至F,使AE...
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如图,AB是⊙C的直径,M、D两点在AB的延长线上,E是⊙C上的点,且DE2=DB· DA.延长AE至F,使AE=EF,设BF=10,cos∠BED=.
(1)求*:△DEB∽△DAE;
(2)求DA,DE的长;
(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上,求MD的长.
【回答】
(1)*见解析; (2)DA=,DE=;(3)MD=.
【解析】
(1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判定即可;
(2)由直径所对的圆周角是直角可得BE⊥AF,再根据中垂线的*质可得AB=BF=10,由△DEB ∽△DAE,cos ∠BED=,可得cos ∠EAD = ,在Rt△ABE中,解直角三角形可求得AE的长,BE的长,再由△DEB ∽△DAE,根据相似三角形的对应边成比例可得 , 结合DB=DA-AB即可求得AD、DE的长;
(3)连接FM,根据∠BEF=90°,根据90度角所对的弦是直径可确定出BF是B、E、F三点确定的圆的直径,再根据点F在B、E、M三点确定的圆上,可得四点F、E、B、M在同一个圆上,继而确定出点M在以BF为直径的圆上,在Rt△AMF中,由cos ∠FAM=可求得AM的长,再根据MD=DA-AM即可求得*.
【详解】
(1)DE2=DB·DA,
∴,
又∵∠D=∠D,
∴△DEB∽△DAE;
(2)∵AB是⊙C的直径,E是⊙C上的点,
∴∠AEB=90°,即BE⊥AF,
又∵AE=EF,BF=10,
∴AB=BF=10,
∵△DEB ∽△DAE,cos ∠BED=,
∴∠EAD=∠BED,cos ∠EAD =cos ∠BED=,
在Rt△ABE中,由于AB=10,cos ∠EAD=,得AE=ABcos∠EAD=8,
∴,
∵△DEB ∽△DAE,
∴,
∵DB=DA-AB=DA-10,
∴,解得,
经检验,是的解,
∴DA=,DE=;
(3)连接FM,
∵BE⊥AF,即∠BEF=90°,
∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径,
∵点F在B、E、M三点确定的圆上,即四点F、E、B、M在同一个圆上,
∴点M在以BF为直径的圆上,
∴FM⊥AB,
在Rt△AMF中,由cos ∠FAM=得
AM=AFcos ∠FAM =2AEcos ∠EAB=2×8×=,
∴MD=DA-AM=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与*质,确定圆条件,圆周角定理的推论,解直角三角形等知识,综合*较强,有一定的难度,正确添加辅助线,灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
知识点:圆的有关*质
题型:解答题
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