如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且.延长AE至F，使AE=EF，设B...

问题详情：

    如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且. 延长AE至F，使AE = EF，设BF = 10，cos∠BED =.     (1) 求*：△DEB∽△DAE；     (2) 求DA，DE的长；     (3) 若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.

【回答】

(1)*：∵，∴.        …1分          又∵∠D =∠D，         ∴△DEB∽△DAE.                     …3分 (2) ∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，∴∠AEB = 90°，即BE⊥AF.    又∵AE = EF，BF = 10，∴AB = BF = 10.    由(1)知△DEB∽△DAE，∴∠A =∠BED.    ∴cos A = cos∠BED =.    在Rt△ABE中，= 10× = 8，    BE == 6.                              ... 5分    ∵△DEB∽△DAE，∴==.    设DB = 3k，DE = 4k，则DA = DB + AB = 3k + 10.    ∵，∴，即.    ∵k ≠ 0，∴，解得.    ∴DA =3k + 10 =，DE = 4k =.             ...8分 (3) 过点F作FH⊥AD于点H.    在Rt△AFH中，AF = AE + EF = 16，AH = AFcosA = 16×=.    ∴DH = DA – AD ==.    ∵BE⊥AF，∴∠BEF = 90°，∴点B、E、F确定的圆是以BF为直径的圆.    ∵FH⊥AD，∴点H在以BF为直径的圆上.    ∵点F在B、E、M三点确定的圆上，∴点F、B、E、M四点共圆.    ∴点M与点H重合.    ∴DM =.

知识点：各地中考

题型：综合题