如图，AC是⊙O的直径，弦BE⊥AC于H，F为⊙O上的一点，过点F的直线与AC的延长线交于点D，与BE的延长线...

问题详情：

如图，AC是⊙O的直径，弦BE⊥AC于H，F为⊙O上的一点，过点F的直线与AC的延长线交于点D，与BE的延长线交于点M，连接AF交BM于G，且MF＝MG.

(1)求*：MD为⊙O的切线；

(2)求*：当MD∥AB时，FG2＝MF·EG；

(3)在(2)的条件下，若cosM＝，FD＝6，求AG的长．

【回答】

(1)*：∵MF＝MG，

∴∠MFG＝∠MGF＝∠AGB，

如解图，连接FO，

∵OF＝AO，

∴∠OFA=∠OAF，

∵BE⊥AC，

∴∠AGH+∠OAF=∠MFG+∠OFA=90°，

即∠MFO＝90°，

∵OF为⊙O的半径，

∴MD为⊙O的切线；

(2) *：∵MD∥AB，

∴∠M＝∠ABM，

如解图，连接EF，

∵∠EFG＝∠ABM，

∴∠M＝∠EFG，

∵∠MGF＝∠FGE，

∴△MGF∽△FGE，

∴＝，

又∵MG=MF，

∴FG2＝MF·EG；

          第19题解图

：∵∠M＝∠ABM，cosM＝，

∴设AH＝3k，AB＝5k，HB＝4k，

如解图，连接OB，

∵∠FOD＝∠M，FD＝6，

∴FO＝8＝OB＝OA，

∴OH＝8－3k，

∴OH 2＋HB 2＝OB2，

∴(4k)2＋(8－3k)2＝82，

解得k＝或k=0（舍去），

∵MD∥AB，

∴∠MFG＝∠BAF，

∴∠BGA＝∠BAG，

∴AB＝GB＝5k，

∴GH＝k，

∴AG＝k，

∴AG＝.

知识点：相似三角形

题型：综合题