如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．（...

问题详情：

如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．

（1）求*：AM=BM；

（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．

【回答】

【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．

【分析】（1）由垂径定理可求得AF=BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM=BM；

（2）连接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt△AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，则可求得BC的长．

【解答】（1）*：

∵直径DE⊥AB于点F，

∴AF=BF，

∴AM=BM；

（2）连接AO，BO，如图，

由（1）可得 AM=BM，

∵AM⊥BM，

∴∠MAF=∠MBF=45°，

∴∠CMN=∠BMF=45°，

∵AO=BO，DE⊥AB，

∴∠AOF=∠BOF=，

∵∠N=15°，

∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，

∵∠ACB=．

∴∠AOF=∠ACB=60°．

∵DE=8，

∴AO=4．

在Rt△AOF中，由，得AF=，

在Rt△AMF中，AM=BM==．

在Rt△ACM中，由，得CM=，

∴BC=CM+BM=+．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题