．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，过点A的切线与CB的延长线交于点E．（1）求*：EA2=EB•EC...

问题详情：

．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，过点A的切线与CB的延长线交于点E．

（1）求*：EA2=EB•EC；

（2）若EA=AC，，AE=12，求⊙O的半径．

【回答】

【考点】切线的*质；相似三角形的判定与*质．

【分析】（1）由弦切角定理，可得∠EAB=∠C，继而可*得△BAE∽△ACE，然后由相似三角形的对应边成比例，*得EA2=EB•EC；

（2）首先连接BD，过点B作BH⊥AE于点H，易*得∠E=∠C=∠D=∠EAB，然后由三角函数的*质，求得直径AD的长，继而求得⊙O的半径．

【解答】（1）*：∵AE是切线，

∴∠EAB=∠C，

∵∠E是公共角，

∴△BAE∽△ACE，

∴EA：EC=EB：EA，

∴EA2=EB•EC；

（2）解：连接BD，过点B作BH⊥AE于点H，

∵EA=AC，

∴∠E=∠C，

∵∠EAB=∠C，

∴∠EAB=∠E，

∴AB=EB，

∴AH=EH=AE=×12=6，

∵cos∠EAB=，

∴cos∠E=，

∴在Rt△BEH中，BE==，

∴AB=，

∵AD是直径，

∴∠ABD=90°，

∵∠D=∠C，

∴cos∠D=，

∴sin∠D=，

∴AD==，

∴⊙O的半径为．

知识点：相似三角形

题型：综合题