如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①C...

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如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC=BO•BE．其中正确结论的个数有（　　）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【回答】

A 【解析】

解：连结DO． ∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线， ∴∠CBO=90°， ∵AD∥OC， ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．又∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中，， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线；故①正确， ∵△COD≌△COB， ∴CD=CB， ∵OD=OB， ∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确； ∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线， ∴∠EDO=∠ADB=90°， ∴∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°， ∴∠ADE=∠BDO， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD， ∴∠EDA=∠DBE， ∵∠E=∠E， ∴△EDA∽△EBD，故③正确； ∵∠EDO=∠EBC=90°， ∠E=∠E， ∴△EOD∽△ECB， ∴， ∵OD=OB， ∴ED•BC=BO•BE，故④正确；故选：A．由切线的*质得∠CBO=90°，首先连接OD，易*得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可*得直线CD是⊙O的切线，根据全等三角形的*质得到CD=CB，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO⊥DB，故②正确；根据余角的*质得到∠ADE=∠BDO，等量代换得到∠EDA=∠DBE，根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的*质得到，于是得到ED•BC=BO•BE，故④正确．本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与*质以及相似三角形的判定与*质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．