如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连...

问题详情：

如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接AD、CD.

(1)求*：DE是⊙O的切线；

(2)若OA＝AE＝2时，

①求图中*影部分的面积；

②以O为原点，AB所在的直线为x轴，直径AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC上求一点P，使得直线DP把*影部分的面积分成1∶2的两部分．

【回答】

 (1)*：如解图，连接OC，

∵OA＝OC，F为AC的中点，

∴OD⊥AC，

又∵DE∥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

(2)解：①由(1)得OD⊥DE，

∴∠EDO＝90°，

∵OA＝AE＝2，

∴OA＝OD＝AD＝2，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠AOD＝∠DAO＝60°，

∴∠ACD＝∠AOD＝30°，

又∵AC⊥OD，

∴∠CAO＝∠CAD＝30°，

∴∠ACD＝∠CAO，

∴CD∥AB，

∴S△ACD＝S△OCD，

∴S*＝S扇形OCD，

∵∠CAD＝∠OAD－∠OAC＝60°－30°＝30°，

∴∠COD＝2∠CAD＝60°，

∴S*＝＝π；

②由已知得：A(－2，0)，C(1，)，

∴直线AC的表达式为y＝x＋，

如解图，过点P1分别作P1M⊥x轴，P1N⊥AD，垂足分别M，N，

由①得AC平分∠OAD，

∴P1M＝P1N，

设P1(x，x＋)(－2≤x≤1)，

P1M＝P1N＝x＋，

∵直线DP1把*影部分面积分成1∶2的两部分，

若S△AP1D＝S*，即×2·(x＋)＝×π，

解得：x＝，此时P1(，)，

若S△AP2D＝S*，同理可求得P2(，)，

综上所述：满足条件的点P的坐标为P1(，)和P2(，).

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题