如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D;连接BD,过点D作直...
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如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求*:直线DM是⊙O的切线;
(2)求*:DE2=DF·DA.
【回答】
思路分析:(1)①连接DO,并延长交⊙O于点G,连接BG;②*∠BAD=∠DAC;③*∠G=∠BAD;④*∠MDB=∠G;⑤*∠GDM=90°;(2)①利用相似*BD2=DF·DA;②利用等角对等边*DB=DE.
*:(1)如答图1,连接DO,并延长交⊙O于点G,连接BG;
∵点E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵∠G=∠BAD,∴∠MDB=∠G,
∵DG为⊙O的直径,∴∠GBD=90°,∴∠G+∠BDG=90°.
∴∠MDB+∠BDG=90°.∴直线DM是⊙O的切线;
答图1 答图2
(2)如答图2,连接BE.
∵点E是△ABC的内心,∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD,∠CBD=∠CAD.
∴∠EBD=∠BED,∴DB=DE.
∵∠CBD=∠BAD,∠ADB=∠ADB,∴△DBF∽△DAB,∴BD2=DF·DA.
∴DE2=DF·DA.
知识点:各地中考
题型:综合题
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