如图，点O在线段AB上，（不与端点A、B重合），以点O为圆心，OA的长为半径画弧，线段BP与这条弧相切与点P，...

问题详情：

如图，点O在线段AB上，（不与端点A、B重合），以点O为圆心，OA的长为半径画弧，线段BP与这条弧相切与点P，直线CD垂直平分PB，交PB于点C，交AB于点D，在*线DC上截取DE，使DE=DB．已知AB=6，设OA=r．

（1）求*：OP∥ED；

（2）当∠ABP=30°时，求扇形AOP的面积，并*四边形PDBE是菱形；

（3）过点O作OF⊥DE于点F，如图所示，线段EF的长度是否随r的变化而变化？若不变，直接写出EF的值；若变化，直接写出EF与r的关系．

【回答】

解：（1）∵BP为⊙O的切线，

∴OP⊥BP，

∵CD⊥BP，

∴∠OPB=∠DCB=90°，

∴OP∥ED；

（2）在Rt△OBP中，∠OPB=90°，∠ABP=30°，

∴∠POB=60°，

∴∠AOP=120°．

在Rt△OBP中，OP=OB，

即r=（6﹣r），

解得：r=2，

S扇形AOP=．

∵CD⊥PB，∠ABP=30°，

∴∠EDB=60°，

∵DE=BD，

∴△EDB是等边三角形，

∴BD=BE．

又∵CD⊥PB，

∴CD=CE．

∴DE与PB互相垂直平分，

∴四边形PDBE是菱形．

（3）EF的长度不随r的变化而变化，且EF=3，

∵AO=r、AB=6，

∴BO=AB﹣AO=6﹣r，

∵BP为⊙O的切线，

∴∠BPO=90°，

∵直线CD垂直平分PB，

∴∠DCB=∠OPB=90°，且BC=PC，

∵∠DBC=∠OBP，

∴△DBC∽△OBP，

∴=，

则CD=OP=r、BD=OB=（6﹣r）=3﹣，

∵DB=DE=3﹣，

∴CE=DE﹣CD=3﹣r，

∵OF⊥EF，

∴∠OFC=∠FCP=∠CPO=90°，

∴四边形OFCP为矩形，

∴CF=OP=r，

则EF=CF+CE=r+3﹣r=3，

即EF的长度为定值，EF=3．

知识点：相似三角形

题型：综合题