如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，O是AB上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O与BC相切于点D...

问题详情：

如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，O是AB上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O与BC相切于点D．

（1）求*：∠ACB＝90°

（2）若AC＝3，BC＝4，填空

①⊙O的半径长为　   　；

②tan∠CAD＝　   　．

【回答】

（1）*：连接OD，如图，

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠OAD＝∠CAD，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵⊙O与BC相切于点D，

∴OD⊥BC，

∴AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°；

（2）①在Rt△ABC中，AB＝＝5，

设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OB＝5﹣r，

∵OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴＝，即＝，解得r＝，

即⊙O的半径为；

②∵△BDO∽△BCA，

∴＝，即＝，解得BD＝，

∴CD＝，

在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝．

故*为，．

【点评】本题考查了切线的*质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．灵活运用相似比进行几何运算．

知识点：相似三角形

题型：综合题