如图，在△ABC中.,点O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点D,AE丄BO交BO的延长...

问题详情：

如图，在△ABC中.,点O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点D,AE丄BO交BO的延长线于点E.

(1)求*：;

(2)若BC=12,,求⊙O的半径和AE的长.

【回答】

*：（1）如答图，连接OD.

∵⊙O与AB相切于点D ，

∴AB⊥OD. ………………………………………………… 1分

∵∠C=90°，

∴BC⊥OC.

又OC=OD，

∴BO为∠ABC的平分线.

∴∠ABE=∠OBC. …………………………………………… 2分

∵AE⊥BO于点E，

∴∠E=90°.

∴∠BAE+∠ABE=90°，∠AOE+∠OAE=90°.

∵∠C=90°，

∴∠BOC+∠OBC=90°.

又∠AOE =∠BOC.

∴∠OBC=∠OAE.

∴∠ABE=∠OAE. ……………………………………………… 3分

∵∠BAE+∠ABE=90°，∠AOE+∠OAE=90°.

∴∠AOE=∠BAE． …………………………………………… 4分

(2)∵∠ABC+∠BAC=90°，∠DOA+∠BAC=90°，

∴∠DOA=∠ABC，

∵ ，BC=12，

∴. …………………………………… 5分

∴

∴.

∴

∴OD=6. ………………………………………………………… 6分

∵BC=12,OC=OD=6.

∴ …………… 7分

∵BC=12，OC=OD=6，AC=16，

∴AO=10.

∵∠AOE=∠BOC，∠E=∠C=90°，

∴△AOE∽△BOC. ……………………………………… 8分

∴.即 .

∴. ………………………………………… 9分

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题