如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D...

问题详情：

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．

（1）求*：AB为⊙O的切线；

（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．

【回答】

（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的*质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，再解直角三角形即可得到结论．

【详解】

（1）*：过O作OH⊥AB于H，

∵∠ACB＝90°，

∴OC⊥BC，

∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，

∴OH＝OC，

即OH为⊙O的半径，

∵OH⊥AB，

∴AB为⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，

在Rt△AOH中，∵tanA＝，

∴＝，

∴＝，

∴AH＝4x，

∴AO＝＝＝5x，

∵AD＝2，

∴AO＝OD+AD＝3x+2，

∴3x+2＝5x，

∴x＝1，

∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，

∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，

在Rt△ABC中，∵tanA＝，

∴BC＝AC•tanA＝8×＝6，

∴OB＝＝＝．

【点睛】

本题考查切线的判定、解直角三角形等内容，熟练运用圆中的*质定理是解题的关键．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题