如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若...

问题详情：

如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：

①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤=

正确的有（　　）

A．①②      B．①④⑤  C．①②④⑤     D．①②③④⑤

【回答】

C【解答】解：∵∠ACB=45°，

∴由圆周角定理得：∠BOD=2∠ACB=90°，∴①正确；

∵AB切⊙O于B，

∴∠ABO=90°，

∴∠DOB+∠ABO=180°，

∴DO∥AB，∴②正确；

假如CD=AD，因为DO∥AB，

所以CE=BE，

根据垂径定理得：OD⊥BC，

则∠OEB=90°，

∵已*出∠DOB=90°，

∴此时△OEB不存在，∴③错误；

∵∠DOB=90°，OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD=45°=∠ACB，

即∠ODB=∠C，

∵∠DBE=∠CBD，

∴△BDE∽△BCD，∴④正确；

过E作EM⊥BD于M，

则∠EMD=90°，

∵∠ODB=45°，

∴∠DEM=45°=∠EDM，

∴DM=EM，

设DM=EM=a，

则由勾股定理得：DE=a，

∵∠ABC=180°﹣∠C﹣∠A=75°，

又∵∠OBA=90°，∠OBD=45°，

∴∠OBC=15°，

∴∠EBM=30°，

在Rt△EMB中BE=2EM=2a，

∴==，∴⑤正确；

故选：C．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：选择题