如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x...

问题详情：

如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）.

(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

(2)过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？

(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.

【回答】

解：

(1)在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，

∴C（0，4），

∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），

∴B（10，4），

把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；

(2)由题意可设P（t，4），则E（t，﹣t2+t+4），

∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t，

∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，

∴△PBE∽△OCD，

∴=，即BPOD=COPE，

∴2（10﹣t）=4（﹣t2+t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），

∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；

(3)当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，

∴∠CQO+∠AQB=90°，

∵∠CQO+∠OCQ=90°，

∴∠OCQ=∠AQB，

∴Rt△COQ∽Rt△QAB，

∴=，即OQAQ=COAB，

设OQ=m，则AQ=10﹣m，

∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，

①当m=2时，CQ==2，BQ==4，

∴sin∠BCQ==，sin∠CBQ==，

∴PM=PCsin∠PCQ=t，PN=PBsin∠CBQ=（10﹣t），

∴t=（10﹣t），解得t=，

②当m=8时，同理可求得t=，

∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．

知识点：相似三角形

题型：解答题