如图1,等边△ABC中,AC=4,D是边AC上的点(不与A,C重合),过点D作DE∥BC交AB于点E,沿DE将...
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问题详情:
如图1,等边△ABC中,AC=4,D是边AC上的点(不与A,C重合),过点D作DE∥BC交AB于点E,沿DE将△ADE向上折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,如图2所示.
(1)若异面直线BE与AC垂直,确定图1中点D的位置;
(2)*:无论点D的位置如何,二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值,并求出这个定值.
【回答】
【详解】解:(1)在图2中,取DE中点O,BC中点F,连结OA,OF,
以O为原点,OE、OF、OA所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设OA=x,则OF=2x,OE,
∴B(2,2x,0),E(,0,0),
A(0,0,x),C(﹣2,2x,0),
(﹣2,2x,﹣x),
(2,x﹣2,0),
∵异面直线BE与AC垂直,
∴8=0,
解得x(舍)或x,
∴,
∴图1中点D在靠近点A的三等分点处.
*:(2)平面ADE的法向量(0,1,0),
(,0,﹣x),(2,x﹣2,0),
设平面ABE的法向量(a,b,c),
则,取a=1,得(1,,),
设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ,
则cosθ,
∴无论点D的位置如何,二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值.
【点睛】本题考查空间中点的位置的确定,考查二面角的余弦值为定值的*,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算能力,考查数形结合思想,是中档题.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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