如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求*...

问题详情：

如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求*：四边形EFDG是菱形；

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．

【回答】

（1）*见解析；（2）EG2=GF•AF．理由见解析；（3）BE=．

【解析】

（1）先依据翻折的*质和平行线的*质*∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的*质可*DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的*质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，*△DOF∽△ADF，由相似三角形的*质可*DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再*△FGH∽△FAD，利用相似三角形的*质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．

【详解】

（1）*：∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的*质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF．

∴DG=GE=DF=EF．

∴四边形EFDG为菱形．

（2）EG2=GF•AF．

理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF=GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2=FO•AF．

∵FO=GF，DF=EG，

∴EG2=GF•AF．

（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，

∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．

解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．

∵DF=GE=2，AF=10，

∴AD==4．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴，即=．

∴GH=．

∴BE=AD﹣GH=4﹣=．

【点睛】

本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握四边形的*质、判定定理等相关知识点是本题解题的关键.

知识点：勾股定理

题型：解答题