如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．（Ⅰ）若D为AA1中点，求...

问题详情：

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．

（Ⅰ）若D为AA1中点，求*：平面B1CD⊥平面B1C1D；

（Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．

【回答】

【考点】平面与平面垂直的判定．

【专题】作图题；*题；综合题；探究型；转化思想．

【分析】法一（Ⅰ）D为AA1中点，推出平面B1CD内的直线CD，垂直平面B1C1D内的两条相交直线DC1，B1C1可得CD⊥平面B1C1D，即可得到

平面B1CD⊥平面B1C1D；

（Ⅱ）在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD，可得∠B1EC1为二面角B1﹣CD﹣C1的平面角，设AD=x，

△DCC1的面积为1求出x，在AA1上存在一点D满足题意．

法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系．计算，推出CD⊥平面B1C1D，可得平面B1CD⊥平面B1C1D．

（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），通过计算求出a，即可说明在AA1上存在一点D满足题意．

【解答】解法一：（Ⅰ）*：∵∠A1C1B1=∠ACB=90°

∴B1C1⊥A1C1

又由直三棱柱*质知B1C1⊥CC1∴B1C1⊥平面ACC1A1．

∴B1C1⊥CD

由AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点，可知，

∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1

又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D

又CD⊂平面B1CD

故平面B1CD⊥平面B1C1D

（Ⅱ）解：当时二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．

假设在AA1上存在一点D满足题意，

由（Ⅰ）可知B1C1⊥平面ACC1A1．

如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD

所以∠B1EC1为二面角B1﹣CD﹣C1的平面角

∴∠B1EC1=60°

由B1C1=2知，

设AD=x，则

∵△DCC1的面积为1∴

解得，即

∴在AA1上存在一点D满足题意

解法二：

（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）．

即

由得

由得

又DC1∩C1B=C1

∴CD⊥平面B1C1D又CD⊂平面B1CD

∴平面B1CD⊥平面B1C1D

（Ⅱ）当时二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．

设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），

设平面B1CD的法向量为

则由令z=﹣1

得

又∵为平面C1CD的法向量

则由

解得，故．

∴在AA1上存在一点D满足题意

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力、计算能力，是中档题．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题