如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，，M为侧棱CC1上一点，AM⊥BA1.  ...

问题详情：

如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，，M为侧棱CC1上一点，AM⊥BA1.

   （1）求*：AM⊥平面A1BC；   （2）求二面角B AM C的大小；

   （3）求点C到平面ABM的距离.

【回答】

*：（I）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易知面ACC1A1⊥面ABC，

    ∵∠ACB = 90°，

∴BC⊥面ACC1A1，                                                                          

∵AM面ACC1A1

∴BC⊥AM

∵AM⊥BA1，且BC∩BA1=B

∴AM⊥平面A1BC                                                                             

   （II）设AM与A1C的交点为O，连结BO，由（I）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，所以∠BOC为二面角B AM C的平面角                                                                                                        

    在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC +∠ACO=90°，

    ∴∠AA1C =∠MAC

∴Rt△ACM∽Rt△A1AC

∴AC2 = MC・AA1

，故所求二面角的大小为45°                                   

   （III）设点C到平面ABM的距离为h，易知BO=，

可得                                

∴点C到平面ABM的距离为                                                        

解法二：（I）同解法一

   （II）如图以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则

    即                              

    设向量，则

    的平面AMB的一个法向量为

    是平面AMC的一个法向量                 

    易知，所夹的角等于二面角B AM C的大小，故所求二面角的大小为45°

   （III）向量即为所求距离    

∴点C到平面ABM的距离为

知识点：空间几何体

题型：计算题