已知函数，为的导数．*：1.在区间存在唯一极大值点；2.有且仅有2个零点．

问题详情：

已知函数，为的导数．*：

1.在区间存在唯一极大值点；

2.有且仅有2个零点．

【回答】

1.设，则，.

当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，

设为.

则当时，；当时，.

所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.

2.的定义域为.

（i）当时，由1知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.

（ii）当时，由1知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.

又，，所以当时，.从而， 在没有零点.

（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.

（iv）当时，，所以，从而在没有零点.

综上，有且仅有2个零点.

知识点：基本初等函数I

题型：解答题