已知函数，．（1）当时，求函数的最小值；（2）若，*：函数有且只有一个零点；（3）若函数有两个零点，求实数a...

问题详情：

已知函数，．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若，*：函数有且只有一个零点；

（3）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

【回答】

（1）当时，．

所以，（x>0）．   

令，得，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以当时，有最小值．

（2）由，得．

所以当时，，

函数在上单调递减，

所以当时，函数在上最多有一个零点．

因为当时，，，

所以当时，函数在上有零点．

综上，当时，函数有且只有一个零点．  

（3）解法一：

由（2）知，当时，函数在上最多有一个零点．

因为函数有两个零点，所以．   

由，得，令．

因为，，

所以函数在上只有一个零点，设为．

当时，；当时，．

所以函数在上单调递减；在上单调递增．

要使得函数在上有两个零点，

只需要函数的极小值，即．

又因为，所以，

又因为函数在上是增函数，且，

所以，得．

又由，得，

所以．  

以下验*当时，函数有两个零点．

当时，，

所以．

因为，且．

所以函数在上有一个零点．

又因为（因为），且．

所以函数在上有一个零点．

所以当时，函数在内有两个零点．

综上，实数a的取值范围为．

下面*：．

          设，所以，（x>0）．

令，得．

当时，；当时，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以当时，有最小值．

所以，得成立．

    解法二：

由（2）知，当时，函数在上最多有一个零点．

因为函数有两个零点，所以．

由，得关于x的方程，（x>0）有两个不等

的实数解．

又因为，

所以，（x>0）．

因为x>0时，，所以．

又当时，，即关于x的方程有且只有一个实数解．

所以．  

知识点：不等式

题型：解答题