中文谷已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）当，时，①*：函数恰有一个零点...
- 习题库
- 关注：2.78W次
问题详情：
已知函数
，其中
，
为自然对数的底数.
（1）若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
（2）当
，
时，
①*：函数
恰有一个零点；
②设
为
的极值点，
为
的零点，*：
.
参考数据：
【回答】
解：（1）若
在
恒成立，即
恒成立，
令
.
当
时，
；当
时，
.
即
在
上单调递减；在
上单调递增.
故
.
（2）当
时，
，
①（i）当
时，
，即
在
上没有零点.
（ii）当
时，令
，则
，
所以
在
上单调递增，
，
，
所以
在
上存在唯一实根
，故
在
上单调递减，在
上单调递增.
又因为
，
，
，
所以
在
上有且只有一个零点
.
综上，函数
在
上恰有一个零点；
②因为
为
的极值点，所以
，即
.
因为
的导函数为
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，因此
恒成立，
即
对任意
成立，所以
，
，
所以有
，即有
成立.
令
，
，
，所以
在
上单调递增，
，
，
在
上有且仅有一个零点，设为
.
而
，所以
，故
.
由①
，所以
，
故
.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
- 文章版权属于文章作者所有，转载请注明 https://zhongwengu.com/exercises/qln8p2.html
