已知函数，.（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当...

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已知函数，.

（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.

【回答】

试题解析：解：（1）由

得，因在区间上不上单调函数

所以在上最大值大于0，最小值小于0

，

由，得

，且等号不能同时取，，即

恒成立，即

令，求导得

当时，，从而

在上是增函数，

由条件，

假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧

不妨设，则，且

是以为直角顶点的直角三角形，

是否存在等价于方程在且是否有解

①当时，方程为，化简，此方程无解；

②当时，方程为，即

设，则

显然，当时，，即在上为增函数

的值域为，即，当时，方程总有解

对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上

知识点：导数及其应用

题型：解答题