已知函数，其中为自然对数的底数．（1）试判断函数的单调*；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

问题详情：

已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）试判断函数的单调*；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【回答】

【解析】（1）由题可知f′（x）=aex-1，

当a≤0时，f′（x）＜0，函数f(x)在R上单调递减，

当a＞0时，令aex-1=0,可得x=-1na，

若x∈（-∞，-1na）,则f′（x）＜0，所以函数f（x）在（-∞，-1na）上单调递减；

若x∈（-1na，+∞），则f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-1na，+∞）上单调递增.

综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在（-∞，-1na）上单调递减，

在（-1na1，+∞）上单调递增.

（2）由题可知对任意的，不等式恒成立，

即对任意的，恒成立，

令，则原问题等价于，．

显然函数在上单调递减，

令，，

则当时，，

所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，

所以函数在的最大值为，

所以，故实数的取值范围为．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题