已知函数，其中.（1）是否存在实数使是函数的极值点；（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值...

问题详情：

已知函数，其中.

（1）是否存在实数使是函数的极值点；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。

【回答】

解．（1）∵，其定义域为，   ∴．                

∵是函数的极值点，∴，即．                                         

∵，∴．   检验当时，是函数的极值点，

∴．　    ……………………………………5

（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．  …………………6分

当［1，］时，．

∴函数在上是增函数．

∴．    …………………8分

∵，且，．…………………9分

①当且［1，］时，，

∴函数在［1，］上是增函数，

∴.

由≥，得≥，

又，∴不合题意．  …………………11分

②当1≤≤时，

若1≤＜，则，

若＜≤，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.

由≥，得≥，

又1≤≤，∴≤≤． …………………12分

③当且［1，］时，，

∴函数在上是减函数．∴.

由≥，得≥，又，∴．

综上所述，的取值范围为 …………………14分

知识点：导数及其应用

题型：解答题