已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的最小值；（Ⅲ）若存在，使成立，求实数的取值...

问题详情：

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（Ⅲ）若存在，使成立，求实数的取值范围．

【回答】

解：已知函数的定义域均为，且．

（Ⅰ）函数           …………………………………………1分

当且时，；当时，.所以函数的单调减区间是，增区间．  ……………………………………3分

（Ⅱ）因在上为减函数，故在上恒成立，也即当时，．           ………………………5分

又，

故当，即时，．   ……………………7分

所以，于是，故的最小值为．     ………………………8分

（Ⅲ）命题“若存在使成立”等价于“当时，有” ．             

由（Ⅱ）知，当时，，所以．

故问题等价于：“当时，有” ………………10分

①当时，由（Ⅱ）知，在上为减函数，

则，故．……………12分

②解法一：

当，时，，由（Ⅱ）知，函数在上是减函数，，所以，与矛盾，不合题意．

综上，得实数的取值范围．         …………………14分

解法二：

当时，由于在上为增函数，故的值域为，即．

（ⅰ）若，即时，由的单调*和值域知，存在唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以．

所以，

与矛盾，不合题意．……………………………………………13分

（ⅱ）若，在恒成立，故在上为增函数，于是，，不合题意．

综上，得实数的取值范围．   

知识点：不等式

题型：解答题