已知函数满足：①；②.（Ⅰ）设，若函数（）在区间上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，讨论此函数在定义域...

问题详情：

已知函数满足：①；②.

（Ⅰ）设，若函数（）在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设函数，讨论此函数在定义域范围内的零点个数．

【回答】

解：（Ⅰ），  ①

          又，即，②

          将①式代入②式，得，又∵

          ∴，．     ……………………………………………2分   

依题意有

          在区间上单调递增，

           又函数在区间上单调递增

          且在区间上恒成立  ……………………4分

        ，即  解得

    故实数的取值范围是．……………………………………6分 

（Ⅱ）方法1 ∵ 函数

      　　　    有解，即

　　 　   又∵

　　　  　∴ 的最小值为，

　　　　  ∴

　        又

                即 （*）

　　　    ∴当t>2时，方程（*）有2个不同的实数根；

                  当t=2时，方程（*）有1个实数根；

                  当t<2时，方程（*）没有实数根．

                综上：当时t>2，函数在定义域范围内有2个零点；

                      当t=2时，函数在定义域范围内有1个零点；

                      当1<t<2时，函数在定义域范围内没有零点．…………12分      

方法2∵ 函数

      　　　     有解，即

                 又∵

　　　　   ∴ 的最小值为

　　　   　∴t>1

　         又

                 即  

                 ∴当t>2时，直线与抛物线有2个不同的交点；

                   当t=2时，直线与抛物线有1个交点；

                   当t<2时，直线与抛物线没有交点．

                 综上：当t>2时，函数在定义域范围内有2个零点；

                       当t=2时，函数在定义域范围内有1个零点；

                       当1<t<2时，函数在定义域范围内没有零点．………12分

知识点：*与函数的概念

题型：解答题