中文谷已知函数，．（1）求函数图像在点处的切线方程；（2）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．
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问题详情：
已知函数
，
．
（1）求函数
图像在点
处的切线方程；
（2）若不等式
对于任意的
均成立，求实数
的取值范围．
【回答】
（1）
；（2）
.
【解析】
（1）求
，求函数
在点
处的切线的斜率
，点斜式写出切线方程；
（2）对于任意的
，
，由不等式
，得
，求
的取值范围.令
，求导
，判断
的单调*，即可求得.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
函数
图像在点
处
切线方程为
.
（2）
对于任意的
，
，由不等式
，得
.
令
，
，
在
上单调递减，
，
即
，
，
.
所以实数
的取值范围为
．
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查参变量分离求参数的取值范围，属于较难的题目.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
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