如图1，点P,Q分别是等边△ABC边AB,BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们...

问题详情：

如图1，点P,Q分别是等边△ABC边AB,BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ，CP交于点M.

（1）求*：△ABQ△CAP;

（2）如图1，当点P,Q分别在AB,BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

（3）如图2，若点P,Q在分别运动到点B和点C后，继续在*线AB,BC上运动，直线AQ,CP交点为M,则∠QMC=            度.（直接填写度数）

【回答】

（1）见解析；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变，∠QMC=60°，理由见解析；（3）120.

【分析】

（1）根据等边三角形的*质，利用SAS*△ABQ≌△CAP即可；

（2）由（1）可知△ABQ≌△CAP，所以∠BAQ=∠ACP，再根据三角形外角*质可求出∠QMC；

（3）先*△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的*质可得∠BAQ=∠ACP，再根据三角形外角*质可求出∠QMC；

【详解】

（1）*：如图1，∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ=∠CAP=60∘，AB=CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ与△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)；

(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变，∠QMC=60°.

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC是△ACM的外角，

∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC

∵∠BAC=60°，

∴∠QMC=60°；

(3) 如图2，∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ=∠CAP=60∘，AB=CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ与△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)；

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC是△APM的外角，

∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，

∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°，

故*为120.

【点睛】

本题考查全等三角形的动点问题，熟练掌握等边三角形的*质得到全等三角形，并由三角形外角*质进行角度转换是解决本题的关键.

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题