如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点D出发沿DA向终点A运动,同时动点Q从点A出发沿对角线A...
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如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点D出发沿DA向终点A运动,同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE∥DC,交AC于点E,动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度,运动时间为t秒,当点P运动到点A时,P、Q两点同时停止运动.
(1)用含有t的代数式表示PE= ;
(2)探究:当t为何值时,四边形PQBE为梯形?
(3)是否存在这样的点P和点Q,使△PQE为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的t的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,AB=DC=3,AD=BC=4,
∴在Rt△ACD中,利用勾股定理得:AC==5,
∵PE∥CD,
∴∠APE=∠ADC,∠AEP=∠ACD,
∴△APE∽△ADC,
又∵PD=t,AD=4,AP=AD﹣PD=4﹣t,AC=5,DC=3,
∴==,即==,
∴PE=﹣t+3.
故*为:﹣t+3;
(2)若QB∥PE,四边形PQBE是矩形,非梯形,
故QB与PE不平行,
当QP∥BE时,
∵∠PQE=∠BEQ,
∴∠AQP=∠CEB,
∵AD∥BC,
∴∠PAQ=∠BCE,
∴△PAQ∽△BCE,
由(1)得:AE=﹣t+5,PA=4﹣t,BC=4,AQ=t,
∴==,即==,
整理得:5(4﹣t)=16,
解得:t=,
∴当t=时,QP∥BE,而QB与PE不平行,此时四边形PQBE是梯形;
(3)存在.
分两种情况:
当Q在线段AE上时:QE=AE﹣AQ=﹣t+5﹣t=5﹣t,
(i)当QE=PE时,5﹣t=﹣t+3,
解得:x=;
(ii)当QP=QE时,∠QPE=∠QEP,
∵∠APQ+∠QPE=90°,∠PAQ+∠QEP=90°,
∴∠APQ=∠PAQ,
∴AQ=QP=QE,
∴t=5﹣t,
解得,t=;
(iii)当QP=PE时,过P作PF⊥QE于F(如图1),
可得:FE=QE=(5﹣t)=,
∵PE∥DC,∴∠AEP=∠ACD,
∴cos∠AEP=cos∠ACD==,
∵cos∠AEP===,
解得t=;
当点Q在线段EC上时,△PQE只能是钝角三角形,如图2所示:
∴PE=EQ=AQ﹣AE,AQ=t,AE=﹣t+5,PE=﹣t+3,
∴﹣t+3=t﹣(﹣t+5),
解得nt=.
综上,当t=或t=或t=或t=时,△PQE为等腰三角形.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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