如图,在矩形ABCD中,AB=2cm,∠ADB=30°.P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线AB﹣BC运...
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如图,在矩形ABCD中,AB=2cm,∠ADB=30°.P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线AB﹣BC运动,在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动,过点P作PN⊥AD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作▱PQMN.设运动的时间为x(s),▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2)
(1)当PQ⊥AB时,x= ;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分时,直接写出x的值.
【回答】
【解答】解:(1)当PQ⊥AB时,BQ=2PB,
∴2x=2(2﹣2x),
∴x=s.
故*为s.
(2)①如图1中,当0<x≤时,重叠部分是四边形PQMN.
y=2x×x=2x2.
②如图②中,当<x≤1时,重叠部分是四边形PQEN.
y=(2﹣x+2tx×x=x2+x
③如图3中,当1<x<2时,重叠部分是四边形PNEQ.
y=(2﹣x+2)×[x﹣2(x﹣1)]=x2﹣3x+4;
综上所述,y=.
(3)①如图4中,当直线AM经过BC中点E时,满足条件.
则有:tan∠EAB=tan∠QPB,
∴=,
解得x=.
②如图5中,当直线AM经过CD的中点E时,满足条件.
此时tan∠DEA=tan∠QPB,
∴=,
解得x=,
综上所述,当x=s或时,直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分.
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的*质平行四边形的*质、锐角三角函数、解直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会用方程的思想解决问题,属于中考压轴题.
知识点:各地中考
题型:解答题
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