如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F...

问题详情：

如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿*线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③ =；④GH的值为定值；⑤若GM=3EG，则tan∠FGB=

上述结论中正确的个数为（　　）

A．2       B．3       C．4       D．5

【回答】

B【考点】相似形综合题．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】根据=可以判断①正确；根据△DCB∽△ECF可以判断②正确；根据△EDC∽△EHG得，由AB=DC可知③错误；根据△DEH∽△DBA求出EH=，HG=故④正确；根据已知条件可以*△AEF是等腰三角形，列出方程6﹣t=2+3t，求出t，得到DE=1，根据tan∠BGF=tan∠DCE=，故⑤错误．

【解答】解：作CN⊥BD，连接AC．

∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AB=DC，

∴∠CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90°，

∵，，

∴，

∵∠CDE=∠FBC=90°

∴△CDE∽△CBF，故①正确，

∴∠DCE=∠BCF，

∵∠DCE+∠BCE=90°，

∴∠BCE+∠BCF=90°，

∴∠ECD=90°，

∵，

∴，

∵∠DCB=∠ECF

∴△DCB∽△ECF，

∴∠DBC=∠EFC，故②正确，

∴∠CDB=∠CEF，

∵∠CDB+∠DCN=90°，∠DCN+∠NCB=90°，

∴∠DCB=∠NCB=∠CEF，

∵CN⊥BD，EH⊥DB，

∴CN∥EH，

∴∠NCE=∠CEH，

∴∠ECB=∠HEG，

∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠ECB，

∴∠DEC=∠HEG，

∵∠EDC=∠EHG=90°，

∴△EDC∽△EHG，

∴，

∵AB=DC，

∴，故③错误，

∵AD=BC=6，AB=2，

∴BD==2，

∵∠EDH=∠ADB，∠EHD=∠DAB，

∴△DEH∽△DBA，

∴，

∴，

∴EH=，

∵，

∴，

∴HG=，故④正确．

∵BM∥ED，MG=3EG，

∴，

∴BM=3t，

∵BF=3t，

∴MB=BF，∵∠MBF=90°

∴∠MFB=45°，

∵∠EAF=90°，

∴∠AEF=∠AFE=45°，

∴AE=AF，

∴6﹣t=2+3t

∴t=1，DE=1，

∵∠FGB=∠EGH=∠DCE，

∴tan∠BGF=tan∠DCE==，故⑤错误．

综上所述①②④正确．

故选B．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和*质、矩形的*质、等腰三角形的*质和判定、三角函数等知识，综合*较强，利用同角的余角相等*角相等是解题的关键，本题还用到方程的思想解决线段的长度问题．

知识点：相似三角形

题型：选择题