如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q...

问题详情：

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6）．

（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？

（2）设△QCP的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△PBC相似．

【回答】

解：（1）当△QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，

又∵AQ=6﹣t，AP=2t，

∴2t=6﹣t，

∴t=2．即当t=2时，△QAP为等腰三角形；

（2）依题意，得S=S矩形ABCD﹣S△QDC﹣S△QAP﹣S△PBC

整理，得S=t2﹣6t+36．

*，得S=（t﹣3）2+27．

∴S与t之间的函数关系式为S=t2﹣6t+36；

（3）AB=12，BC=6，

vP=2，vQ=1，

AP=vPt=2t

DQ=vQt=t

AQ=DA﹣DQ=6﹣t

BP=AB﹣AP=12﹣2t=2（6﹣t）

当△QAP∽△PBC时：

QA：PB=AP：BC

（6﹣t）：（12﹣2t）=2t：6

t=1.5

当△PAQ∽△PBC时：

PA：PB=AD：BC

2t：（12﹣2t）=（6﹣t）：6

（6﹣t）2=6t

t2﹣18t+36=0

（t﹣9）2=45

t=9±3

t=9+＞6，舍去

∴t=9﹣3

综上：t=1.5，或t=9﹣3．

知识点：相似三角形

题型：解答题