已知二次三项式ax2+bx+c（a＞0）（1）当c＜0时，求函数y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值；（2...

问题详情：

已知二次三项式ax2+bx+c（a＞0）（1）当c＜0时，求函数y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值；（2）若无论k为何实数，直线y=k(x-1)-

k2

4

与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a+b+c的值．
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分析：（1）利用二次函数图象的*质推出函数y'=ax2+bx+c的最小值小于零，再根据任何数的绝对值都为非负数解决此题；（2）直线y=k(x-1)-

k2

4

与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，也就是说方程k（x-1）-

k2

4

=ax2+bx+c只有一个解，即△=0．
解答：解：（1）由a＞0，c＜0知y'=ax2+bx+c与x轴必有交点，y'min＜0，故y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值为-1；（2）联立方程组

y=k(x-1)- k2 4 y=ax2+bx+c

，∴ax2+bx+c=k（x-1）-

1

4

k2，整理得，ax2+（b-k）x+c+k+

1

4

k2=0，∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，∴△=（b-k）2-4a（c+k+

1

4

k2）=（1-a）k2-2k（2a+b）+b2-4ac=0，可得1-a=0，2a+b=0，b2-4ac=0，解得a=1，b=-2，c=1，故a+b+c=0．
点评：主要考查了二次函数的*质与一元二次方程之间的关系，以及方程根的个数的判断规律．这些*质和规律要求掌握．

【回答】

分析：（1）利用二次函数图象的*质推出函数y'=ax2+bx+c的最小值小于零，再根据任何数的绝对值都为非负数解决此题；（2）直线y=k(x-1)-

k2

4

与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，也就是说方程k（x-1）-

k2

4

=ax2+bx+c只有一个解，即△=0．
解答：解：（1）由a＞0，c＜0知y'=ax2+bx+c与x轴必有交点，y'min＜0，故y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值为-1；（2）联立方程组

y=k(x-1)- k2 4 y=ax2+bx+c

，∴ax2+bx+c=k（x-1）-

1

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k2，整理得，ax2+（b-k）x+c+k+

1

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k2=0，∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，∴△=（b-k）2-4a（c+k+

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k2）=（1-a）k2-2k（2a+b）+b2-4ac=0，可得1-a=0，2a+b=0，b2-4ac=0，解得a=1，b=-2，c=1，故a+b+c=0．
点评：主要考查了二次函数的*质与一元二次方程之间的关系，以及方程根的个数的判断规律．这些*质和规律要求掌握．

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