如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B...

问题详情：

如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；m+n＝3；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1x4时，有y2y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1．正确的为（　　）

A．①④⑤                  B．①③④                   C．①③⑤                  D．①②③

【回答】

B

【分析】

①根据对称轴方程x＝﹣＝1，可得2a+b＝0是正确的，将点A代入到直线y2＝mx+n（m≠0）可得m+n＝3，

②根据轴对称的*质，由点B（4，0）关于直线x＝1的对称点坐标为（﹣2，0）来判断；

③由直线y=3过抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（1，3）可判断方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；

④根据函数的图像来回答即可；

⑤将ax12+bx1＝ax22+bx2两边同时加上c，即ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，即y1＝y2，可得关于对称轴对称，可得．

【详解】

解：①∵对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0，

将点A（1，3）、B（4，0）代入直线AB的表达式： ，

解，得，

∴m+n＝3，

故①正确，符合题意；

②∵对称轴为直线x＝1，

∴点B（4，0）关于对称轴直线x＝1的对称点为（﹣2，0），

故②错误，不符合题意；

③如图，∵直线y=3过抛物线顶点 A（1，3），

∴抛物线y=ax2+bx+c直线y=3只有一个公共点；

∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，

故③正确，符合题意；

④当1＜x＜4时，由图象可知y2＜y1，故④正确，符合题意；

⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，即ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，即y1＝y2，

∴关于对称轴对称

∴（x1+x2）＝1，

故⑤错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象*质和从函数的观点看待方程和不等式，解答关键是数形结合．

知识点：二次函数单元测试

题型：选择题