如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和B(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;...
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如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线上在x轴下方的动点,过M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)E是抛物线对称轴上一点,F是抛物线上一点,是否存在以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)将点B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=x2+bx+c中,
得:,
解得:.
故抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3.
(2)设点M的坐标为(m,m2﹣4m+3),设直线BC的解析式为y=kx+3,
把点B(3,0)代入y=kx+3中,
得:0=3k+3,解得:k=﹣1,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.
∵MN∥y轴,
∴点N的坐标为(m,﹣m+3).
∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线的对称轴为x=2,
∴点(1,0)在抛物线的图象上,
∴1<m<3.
∵线段MN=﹣m+3﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,
∴当m=时,线段MN取最大值,最大值为.
(3)存在.点F的坐标为(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).
当以AB为对角线,如图1,
∵四边形AFBE为平行四边形,EA=EB,
∴四边形AFBE为菱形,
∴点F也在对称轴上,即F点为抛物线的顶点,
∴F点坐标为(2,﹣1);
当以AB为边时,如图2,
∵四边形AFBE为平行四边形,
∴EF=AB=2,即F2E=2,F1E=2,
∴F1的横坐标为0,F2的横坐标为4,
对于y=x2﹣4x+3,
当x=0时,y=3;
当x=4时,y=16﹣16+3=3,
∴F点坐标为(0,3)或(4,3).
综上所述,F点坐标为(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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