设函数fn(x)=1+x+x2+…+xn,n∈N*. (1)求*:当x∈(0,+∞)时,ex>fn(x)...
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设函数fn(x)=1+x+x2+…+xn,n∈N*.
(1)求*:当x∈(0,+∞)时,ex>fn(x);
(2)若x>0,且ex=fn(x)+xn+1ey,求*:0<y<x.
【回答】
.解:(1)用数学归纳法*:当x∈(0,+∞)时,ex>fn(x);
(i)当n=1时,令f(x)=ex-f1(x)=ex-x-1,则f ′(x)=ex-1>0,x∈(0,+∞)恒成立,所以,f(x)在区间(0,+∞)为增函数,又因为f(0)=0,所以f(x)>0,即ex>f1(x).
(ii)假设n=k时,命题成立,即当x∈(0,+∞)时,ex>fk(x),
则n=k+1时,令g(x)=ex-fk+1(x)=ex-(1+x+x2+…+xk+xk+1),
则g′(x)=ex-(1+x+x2+…+xk)=ex-fk(x)>0,所以g(x)在区间(0,+∞)为增函数,又因为g(0)=0,所以 g(x)>0,x∈(0,+∞)恒成立,即ex>fk+1(x),x∈(0,+∞).所以n=k+1时,命题成立.
由(i)(ii)及归纳假设可知,n∈N*,当x∈(0,+∞)时,ex>fn(x).
(2)由(1)可知ex>fn+1(x),即fn(x)+ xn+1ey>fn(x)+ xn+1ey>1,即y>0.
下面先用数学归纳法*:当x>0,ex<1+x+x2+…+xnex.n∈N*.
(i)当n=1时,令F(x)=1+xex-ex,则F′(x)=xex>0,x∈(0,+∞),所以F(x)在区间(0,+∞)单调增,又F(0)=0,故F(x)>0,即ex<1+xex.
(ii)假设n=k时,命题成立,即当x∈(0,+∞)时,ex<1+x+x2+…+xkex.则
当n=k+1时,令G(x)=1+x+x2+…+xk+xk+1ex-ex,则
G′(x)=1+x+x2+…+xkex+xk+1ex-ex>xk+1ex>0,
所以G(x)在区间(0,+∞)上为增函数,又G(0)=0,故G(x)>0,即
ex<1+x+x2+…+xkex+xk+1ex,x∈(0,+∞).
由(i)(ii)及归纳假设,可知当x∈(0,+∞)时,ex<1+x+x2+…+xkex+xk+1ex,对n∈N*成立.
由ex=1+x+x2+…+xnex+xn+1ey<1+x+x2+…+xn+xn+1ex
所以 ey<exy<x.*毕.
知识点:推理与*
题型:解答题
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