已知函数f(x)=ln(x+1)--x,a∈R.(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若存在...
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已知函数f(x)=ln (x+1)--x,a∈R.
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<-(a∈Z)成立,求a的最小值.
【回答】
解 (1)f′(x)=,x>-1.
当a≥时,f′(x)≤0,∴f(x)在(-1,+∞)上单调递减.
当0<a<时,
当-1<x<时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
综上,当a≥时,f(x)的单调递减区间为(-1,+∞);
当0<a<时,f(x)的单调递减区间为,,
f(x)的单调递增区间为.
(2)原式等价于ax>(x+1)ln (x+1)+2x+1,
即存在x>0,使成立.
设,x>0,
则,x>0,
设h(x)=x-1-ln (x+1),x>0,
则h′(x)=1->0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增.
又h(2)<0,h(3)>0,根据零点存在*定理,可知h(x)在(0,+∞)上有唯一零点,设该零点为x0,则x0-1=ln (x0+1),且x0∈(2,3),
∴
又a>x0+2,a∈Z,∴a的最小值为5.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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