已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x...

问题详情：

已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．

【回答】

.解 (1)f′(x)＝－a(x>0)，

①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]

②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，

当0<x<时，f′(x)＝>0；

当x>时，f′(x)＝<0，

故函数f(x)的单调递增区间为，

单调递减区间为.[4分]

综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.[5分]

(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.[6分]

②当≥2，即0<a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.[7分]

③当1<<2，即<a<1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，

所以当<a<ln2时，最小值是f(1)＝－a；

当ln2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.[11分]

综上可知，当0<a<ln2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a；

当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.[12分]

知识点：导数及其应用

题型：解答题