已知函数f(x)=alnx+x2+bx(a,b为常数).(Ⅰ)若，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若，求函数f...

问题详情：

已知函数f(x)=alnx+x2+bx (a,b为常数).

(Ⅰ) 若，求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ) 若，求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值；

(Ⅲ) 设b=0,若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围．

【回答】

【*】 (1)当a=-2,b=-3时,f(x)=-2lnx+x2-3x,f(x)的定义域为(0,+∞),

f'(x)=-+2x-3=.

令f'(x)=0,得x=2,

所以当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,

所以函数f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2).

(2)因为b=0,所以f(x)=alnx+x2,

所以f'(x)=(x>0),又x∈[1,e],所以2x2+a∈[a+2,a+2e2].

①若a≥-2,则f'(x)在[1,e]上非负(当且仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),

故函数f(x)在[1,e]上是增函数,

此时f(x)min=f(1)=1,且x=1.

②若-2e2<a<-2,则a+2<0,a+2e2>0,

f'(x)=,x∈[1,e],

当x=时,f'(x)=0,此时-2e2<a<-2,1<<e,

当<x≤e时,f'(x)>0,此时f(x)是增函数;

当1≤x<时,f'(x)<0,此时f(x)是减函数.

故f(x)min=f()=ln(-)-,此时x=.

(3)因为b=0,所以f(x)=alnx+x2,

不等式f(x)≤(a+2)x,即alnx+x2≤(a+2)x,可化为a(x-lnx)≥x2-2x,

因为x∈[1,e],所以lnx≤1≤x,且等号不能同时取到,

所以lnx<x,即x-lnx>0,因而a≥()min(x∈[1,e]).

令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,

当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,

从而g'(x)≥0(当且仅当x=1时取等号),所以g(x)在[1,e]上为增函数,

故g(x)的最小值为g(1)=-1,所以实数a的取值范围是[-1,+∞).

知识点：基本初等函数I

题型：解答题