已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间.(2)若f(x)在区间[-2,2]...

问题详情：

已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.

(1)求f(x)的单调递减区间.

(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

【回答】

【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9.

令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,

所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(3,+∞).

(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,

f(2)=-8+12+18+a=22+a,

所以f(2)>f(-2).

因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,

因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,

于是有22+a=20,解得a=-2.

故f(x)=-x3+3x2+9x-2,

因此f(-1)=1+3-9-2=-7,

即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

知识点：导数及其应用

题型：解答题